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Zustandsvariablenfilter

Zustandsvariablenfilter

Der Zustandsvariablenfilter ist eine Art Multi-Feedback-Filterschaltung, die alle drei Filterantworten, Tiefpass, Hochpass und Bandpass, gleichzeitig aus einem einzigen aktiven Filterdesign erzeugen kann

Zustandsvariablenfilter verwenden drei (oder mehr) Operationsverstärkerschaltungen (das aktive Element) kaskadiert, um die einzelnen Filterausgänge zu erzeugen, aber bei Bedarf kann auch ein zusätzlicher Summierverstärker hinzugefügt werden, um eine vierte Notchfilterausgangsantwort zu erzeugen.

Zustandsvariablenfilter sind aktive RC-Filter zweiter Ordnung, die aus zwei identischen Operationsverstärker-Integratoren bestehen, von denen jeder als einpoliger Tiefpassfilter 1. Ordnung dient und einem Summierverstärker, mit dem wir die Filterverstärkung und deren Dämpfungsrückkopplungsnetzwerk einstellen können. Die Ausgangssignale aller drei Operationsverstärkerstufen werden an den Eingang zurückgeführt, so dass wir den Zustand der Schaltung definieren können.

Einer der Hauptvorteile eines zustandsvariablen Filterdesigns ist, dass alle drei Hauptparameter des Filters, Gain (A), Eckfrequenz, ƒC und Q des Filters unabhängig voneinander eingestellt werden können, ohne die Filterleistung zu beeinflussen.

Bei richtiger Auslegung sollte die -3dB Eckfrequenz (ƒC) sowohl für den Tiefpassamplitudengang als auch für den Hochpassamplitudengang mit dem Mittenfrequenzpunkt der Bandpassstufe identisch sein. Das ist ƒLP(-3dB) entspricht ƒHP(-3dB), was ƒBP(center) entspricht. Auch der Dämpfungsfaktor ( ζ ) für die Bandpassfilterantwort sollte gleich 1/Q sein, da Q auf -3dB, (0.7071) eingestellt wird.

Obwohl der Filter Tiefpass- (LP), Hochpass- (HP) und Bandpass- (BP) Ausgänge bietet, ist die Hauptanwendung dieser Art von Filterschaltung ein zustandsvariables Bandpassfilterdesign mit der durch die beiden RC-Integer eingestellten Mittenfrequenz.

Während wir eben gesehen haben, dass die Eigenschaften eines Bandpassfilters durch einfaches Kaskadieren eines Tiefpassfilters mit einem Hochpassfilter erreicht werden können, haben zustandsvariable Bandpassfilter den Vorteil, dass sie hochselektiv (high Q) abgestimmt werden können und hohe Verstärkungen am Mittenfrequenzpunkt bieten.

Es stehen mehrere zustandsvariable Filterdesigns zur Verfügung, die alle auf dem Standardfilterdesign basieren, wobei sowohl invertierende als auch nicht-invertierende Varianten verfügbar sind. Der grundsätzliche Filteraufbau ist jedoch für beide Varianten gleich, wie in der folgenden Blockschaltbilddarstellung dargestellt.

Zustandsvariablenfilter Blockschaltbild

Zustandsvariablenfilter Blockschaltbild

 

Wir ersehen aus obigem Blockschaltbild, dass der Zustandsgrößenfilter drei mögliche Ausgänge hat, VHP, VBP und VLP mit je einem der drei OpAmps. Eine Notch-Filter-Antwort kann auch durch Hinzufügen eines vierten Operationsverstärkers realisiert werden.

Bei konstanter Eingangsspannung erzeugt VIN am Ausgang des Summierverstärkers ein Hochpassverhalten, das auch zum Eingang des ersten RC-Integrators wird. Der Ausgang dieses Integrators erzeugt eine Bandpassantwort, die zum Eingang des zweiten RC-Integrators wird und an seinem Ausgang eine Tiefpassantwort erzeugt. Dadurch können für jeden einzelnen Ausgang eigene Übertragungsfunktionen in Bezug auf die Eingangsspannung gefunden werden.

Der grundsätzliche Aufbau des nichtinvertierenden Zustandsvariablenfilters ist daher gegeben als:

Zustandsvariable Filterschaltung

Zustandsvariable Filterschaltung

 

und der Amplitudengang der drei Ausgänge des Zustandsgrößenfilters sieht so aus:

Normalisiertes Verhalten eines Zustandsvariablenfilters

Zustandsvariable Filteramplitudenantwort

 

Eines der wichtigsten Designelemente eines Zustandsvariablenfilters ist der Einsatz von zwei Operationsverstärkern. Wie wir im Integrator-Tutorial gesehen haben, verwenden OpAmp-Integratoren eine frequenzabhängige Impedanz in Form eines Kondensators innerhalb ihrer Rückkopplungsschleife. Bei Verwendung eines Kondensators ist die Ausgangsspannung proportional zum Integral der Eingangsspannung.

OpAmp-Integratorschaltung

OpAmp-Integratorschaltung

Integratorgleichung

Um die Mathematik ein wenig zu vereinfachen, kann dies auch geschrieben werden als:

Integratorspannungsgleichung

 

Die Ausgangsspannung Vout ist ein konstantes 1/RC-faches des Integrals der Eingangsspannung Vin bezogen auf die Zeit. Integratoren erzeugen eine Phasenverschiebung mit dem Minuszeichen ( - ), das eine Phasenverschiebung von 180° anzeigt, da das Eingangssignal direkt an die invertierende Eingangsklemme des Operationsverstärkers angeschlossen ist.

Im Falle von Operationsverstärker A2 ist sein Eingangssignal mit dem Ausgang des Operationsverstärkers A1 verbunden, so dass sein Eingang als VHP und sein Ausgang als VBP gegeben ist. Der obige Ausdruck für den Operationsverstärker, A2, kann wie folgt geschrieben werden:

Operationsverstärker-Gleichung

 

Durch Umordnen dieser Formel können wir die Übertragungsfunktion des invertierenden Integrators A2 finden.

Operationsverstärker A2 Transferfunktion

Integratorübertragungsfunktion

 

Genau die gleiche Annahme kann getroffen werden, um die Übertragungsfunktion für den anderen OpAmp-Integrator A3 zu finden.

Operationsverstärker A3 Transferfunktion

Operationsverstärker-Integrator-Gleichung

 

Die beiden Operationsverstärker A2 und VA3 sind kaskadiert miteinander verbunden, so dass der Ausgang des ersten (VBP) zum Eingang des zweiten wird. Und wir sehen, dass die Bandpassantwort durch Integration der Hochpassantwort und die Tiefpassantwort durch Integration der Bandpassantwort erzeugt wird. Daher ist die Übertragungsfunktion zwischen VHP und VLP :

Filterübertragungsfunktion

 

Beachten Sie, dass jede Integratorstufe einen invertierten Ausgang liefert, aber der summierte Ausgang positiv ist, da es sich um invertierende Integratoren handelt. Wenn genau die gleichen Werte für R und C verwendet werden, so dass die beiden Kreise die gleiche Integratorzeitkonstante haben, können beide Verstärkerschaltungen als eine einzige Integratorschaltung mit einer Eckfrequenz, ƒC, betrachtet werden.

Neben den beiden Integratorschaltungen verfügt der Filter auch über einen Differenzsummenverstärker, der eine gewichtete Summierung seiner Eingänge ermöglicht. Der Vorteil hierbei ist, dass die Eingänge zum Summierverstärker A1 oszillatorische Rückkopplung, Dämpfung und Eingangssignale zum Filter kombinieren, da alle drei Ausgänge auf die Summiereingänge zurückgeführt werden.

Verstärker Summierschaltung

Verstärker Summierschaltung

 

Operationsverstärker, A1 wird als Addierer-Subtrahierer-Schaltung angeschlossen. Das heißt, es summiert das Eingangssignal, VIN mit dem VBP -Ausgang von Operationsverstärker A2 und subtrahiert davon den VLP -Ausgang von Operationsverstärker A3:

nichtinvertierende Übertragungsfunktion

und

invertierende Übertragungsfunktion

 

Da die Differenzeingänge, +V und -V eines Operationsverstärkers gleich sind, sind diese identisch: +V – -V, können wir die beiden obigen Ausdrücke neu anordnen, um die Übertragungsfunktion für den Ausgang von A1, den Hochpass-Ausgang, zu finden.

Differential-Sommer-Transfer-Funktion

 

Wir wissen von oben, dass VBP und VLP die Ausgänge der beiden Integratoren A2 und A3 sind. Durch Substitution der Integratorgleichungen für A2 und A3 in die obige Gleichung erhalten wir die Übertragungsfunktion des Zustandsgrößenfilters:

Zustandsvariable Filter-Übertragungsfunktion

Zustandsvariable Filter-Übertragungsfunktion

 

Wir sagten vorher, dass ein Zustandsvariablenfilter drei Filterantworten erzeugt, Tiefpass, Hochpass und Bandpass, und dass die Bandpassantwort die eines sehr schmalen Hochqualitätsfilters ist, was sich in der obigen Übertragungsfunktion des SVF zeigt, da sie der einer Standardantwort 2. Ordnung ähnelt.

Normalisierte Übertragungsfunktion 2. Ordnung

Zustandsvariable Filterübertragungsfunktion

Die Filter-Eckfrequenz, ƒC

Wenn wir sowohl die Eingangswiderstände der Integratoren als auch die Rückkopplungskondensatoren gleich machen, dann kann die Eckfrequenz des Zustandsvariablenfilters leicht eingestellt werden, ohne dass die Gesamt-Q beeinflusst wird. Dann wird die Eckfrequenz:

Zustandsvariablenfilter Eckfrequenz

Eckfrequenz des Zustandsvariablenfilters

 

Wenn wir die Rückkopplungswiderstände R3 und R4 auf die gleichen Werte einstellen, dann wird die Eckfrequenz jedes Filterausgangs des Zustandsvariablenfilters einfach:

vereinfachte Eckfrequenz
 

Die Abstimmung der zustandsvariablen Eckfrequenz erfolgt dann einfach durch Variation des Abstimmwiderstandes R oder des Kondensators C.

Zustandsgrößenfilter zeichnen sich nicht nur durch ihr individuelles Ausgangsverhalten aus, sondern auch durch ihr “Q”, ihren Qualitätsfaktor. Q bezieht sich auf die “Schärfe” der Bandpassfilter-Amplitudengang-Kurve und je höher der Q-Wert, desto höher oder schärfer ist der Ausgangspegel, was zu einem hochselektiven Filter führt.

Bei einem Bandpassfilter ist Q definiert als die Mittenfrequenz dividiert durch die Filter -3dB Bandbreite, also Q = ƒc/BW. Q kann aber auch aus dem Nenner der obigen Übertragungsfunktion gefunden werden, da es der Kehrwert des Dämpfungsfaktors ist ( ζ ). Dann wird Q:

Q-Faktor eines Zustandsgrößenfilters

Zustandsvariablenfilter Q-Faktor

 

Wiederum, wenn die Widerstände R3 und R4 gleich sind und beide Integratorkomponenten R und C gleich sind, dann würde sich der endgültige Quadratwurzelausdruck vereinfachen auf: 1 oder einfach 1 da Zähler und Nenner sich gegenseitig aufheben.

Zustandsvariablenfilter Beispiel Nr.1

Entwurf eines Zustandsvariablenfilters mit einer Eckfrequenz (natürlich ungedämpft), ƒC von 1kHz und einem Qualitätsfaktor, Q von 10. Angenommen, die frequenzbestimmenden Widerstände und Kondensatoren sind gleich. Bestimmen Sie die DC-Verstärkung der Filter und zeichnen Sie die resultierende Schaltung und das Bode-Diagramm.

Wir sagten oben, dass, wenn sowohl der Widerstand, R und der Rückkopplungskondensator, C der beiden Integratorschaltungen die gleichen Werte haben, d.h. R = R und C = C, der Grenz- oder Eckfrequenzpunkt für den Filter einfach gegeben ist als:

Eckfrequenz des Filters

Zustandsvariable Filtergrenzfrequenz

Wir können einen Wert für den Widerstand oder den Kondensator wählen, um den Wert des anderen zu finden. Wenn wir einen geeigneten Wert von 10nF für den Kondensator annehmen, dann ist der Wert des Widerstandes:

Grenzfrequenzwiderstandswert

C = 10nF und R = 15.9kΩ, oder 16kΩ auf den nächstgelegenen Standard-Wert.

Der Wert von Q ist als 10 angegeben. Dies bezieht sich auf den Filter-Dämpfungskoeffizienten:

Dämpfungskoeffizient

In der obigen Zustandsgrößen-Übertragungsfunktion wird der Teil durch die Angabe der Widerstandskombination ersetzt:

Filterdämpfungskoeffizient

Wir wissen von oben, dass R = 16kΩ’s und C = 10nF, aber wenn wir annehmen, dass die beiden Rückkopplungswiderstände, R3 und R4 gleich sind und den Wert 10kΩ haben, dann reduziert sich die obige Gleichung auf:

SVF-Widerstandswert

Mit einem geeigneten Wert für den Eingangswiderstand, R1 von z.B. 1kΩ, können wir den Wert von R2 wie folgt finden:

Widerstandswert R2

Von der normierten Übertragungsfunktion oben wird die DC-Durchlassverstärkung als Ao definiert und von der äquivalenten Zustandsvariablen-Filterübertragungsfunktion entspricht dies:

Die SVF-Filter DC-Passband-Verstärkung

Zustandsvariablenfilter DC-Verstärkung

Daher wird die Gleichspannungsverstärkung des Filters mit 1,9 berechnet, was im Wesentlichen R2/R3 entspricht. Auch die maximale Verstärkung des Filters bei ƒC kann wie folgt berechnet werden: Ao x Q wie folgt.

Die SVF-Filter Maximale Verstärkung

Die SVF-Filter Maximale Verstärkung

Zustandsvariablenfilter Schaltung

Dann wird der Entwurf der Zustandsvariablen-Filterschaltung sein: R = 16kΩ, C = 10nF, R1 = 1kΩ, R2 = 19kΩ und R3 = R4 = 10kΩ wie gezeigt.

Zustandsvariablenfilter Design

Zustandsvariablenfilter Design

 

Wir können nun die einzelnen Ausgangskennlinien für die Zustandsgrößenfilterschaltung über einen Frequenzbereich von 1Hz bis 1MHz in einem Bode-Diagramm darstellen:

Zustandsvariablenfilter Bode Diagramm

Zustandsvariablenfilter Bode Diagramm

 

Aus den obigen Filterkennlinien können wir erkennen, dass die DC-Verstärkung der Filterschaltung bei 5,57dB liegt, was einer Open-Loop-Spannungsverstärkung, Ao oder 1,9, wie oben berechnet, entspricht. Die Antwort zeigt auch, dass die Ausgangskurven bei einer maximalen Spannungsverstärkung von 25,6dB bei der Eckfrequenz durch den Wert von Q ihren Höhepunkt erreicht haben: ƒo/10 = 100Hz.

Wir haben in diesem Zustandsvariablenfilter-Tutorial gesehen, dass wir anstelle eines aktiven Filters, der eine Art von Frequenzgang erzeugt, mehrere Rückkopplungstechniken verwenden können, um alle drei Filterantworten, Tiefpass, Hochpass und Bandpass, gleichzeitig aus demselben einzigen aktiven Filterdesign zu erzeugen.

Aber zusätzlich zu den drei grundlegenden Filterantworten können wir eine zusätzliche Operationsverstärkerschaltung in das oben beschriebene Design des Basiszustandsvariablen Filters einfügen, um eine vierte Ausgangsantwort zu erzeugen, die der eines Standard-Notch-Filters ähnelt.

Notch-Filter Design (Kerbfilter Design)

Ein Notch-Filter ist im Grunde das Gegenteil eines Bandpassfilters, indem er ein bestimmtes Frequenzband unterdrückt oder stoppt. Daher kann ein Notchfilter auch als “Bandsperrfilter” bezeichnet werden. Um das Verhalten eines Notch-Filters aus dem Grundzustand des variablen Filterentwurfs zu erhalten, müssen wir die Hochpass- und Tiefpassausgangsantworten mit einem anderen Operationsverstärker, A4, wie dargestellt, zusammenfassen.

Notch-Filter-Schaltung

Notch-Filter-Schaltung

 

Um die Dinge einfach zu halten, haben wir angenommen, dass die beiden Eingangswiderstände R5 und R6 sowie der Rückkopplungswiderstand R7 alle den gleichen Wert von 10kΩ haben wie für R3 und R4. Dadurch erhält der Kerbfilter eine Verstärkung von 1, Einheit.

Das Ausgangsverhalten von Notch-Filter und Bandpassfilter sind abhängig von der Mittenfrequenz der Bandpassantwort, gleich der Nullpunktantwort des Notch-Filters und in diesem Beispiel 1kHz.

Auch die Bandbreite der Notch wird durch das Q der Schaltung bestimmt, genau wie bei der Passbandantwort. Die Abwärtsspitze ist also gleich der Mittenfrequenz geteilt durch die -3dB Bandbreite, also der Frequenzdifferenz zwischen den -3dB Punkten auf beiden Seiten der Notch. Beachten Sie, dass der Qualitätsfaktor Q nichts mit der tatsächlichen Tiefe der Kerbe (Notch) zu tun hat.

Der Basis Bandsperrfilter hat nur zwei Eingänge für seinen Summierverstärker, den Tiefpass-Ausgang, VLP und den Hochpass-Ausgang, VHP. Es stehen uns jedoch noch zwei weitere Signale zur Verfügung, die wir von der Basis Zustandsvariablenfilterschaltung verwenden können: den Bandpassausgang, VBP und das Eingangssignal, VIN selbst.

Wird eines dieser beiden Signale zusammen mit dem Tiefpass- und Hochpasssignal auch als Eingang für den Notchfilter-Summenverstärker verwendet, so kann die Tiefe der Notch gesteuert werden.

Je nachdem, wie Sie den Ausgang des Notch-Filters steuern möchten, hängt es davon ab, welches der beiden verfügbaren Signale Sie verwenden würden. Sollte es erforderlich sein, dass die Ausgangskerbe von einer negativen auf eine positive Antwort bei der ungedämpften Eigenfrequenz ƒo wechselt, würde das Bandpassausgangssignal VBP verwendet.

Ebenso, wenn es erforderlich war, dass die Ausgangskerbe nur in ihrer negativen Tiefe nach unten variiert, dann würde das Eingangssignal VIN verwendet werden. Wenn eines dieser beiden zusätzlichen Signale über einen variablen Widerstand an den Operationsverstärker angeschlossen wird, kann die Tiefe und Richtung der Kerbe vollständig gesteuert werden. Betrachten Sie den modifizierten Kerbfilterkreis unten.

Notchfilter Tiefe der Kerbe

Notchfilter Tiefe der Kerbe

Zusammenfassung des Zustandsvariablenfilters

Die SVF-Schaltung (State Variable Filter) ist ein aktives RC-Filterdesign 2. Ordnung, das mehrere Rückkopplungstechniken verwendet, um drei verschiedene Frequenzgang-Ausgänge zu erzeugen, und zwar Tief Pass, Hoch Pass und Band Pass aus einem einzigen Filter. Der Vorteil des Zustandsvariablenfilters gegenüber anderen Basisfilterdesigns besteht darin, dass die drei Hauptfilterparameter Verstärkung, Q und ƒc unabhängig voneinander eingestellt werden können.

Wir haben gesehen, dass der Filter auch einfach zu stimmen ist, da die Eckfrequenz, ƒc entweder durch Variation von R oder C eingestellt und justiert werden kann, ohne den Dämpfungsfaktor des Filters zu beeinflussen. Bei höheren Eckfrequenzen und größeren Dämpfungsfaktoren kann der Filter jedoch instabil werden, so dass er am besten bei niedrigen Q, weniger als 10 und bei niedrigen Eckfrequenzen eingesetzt wird.

Der Grundzustand des Zustandsvariablenfilters besteht aus drei Operationsverstärkersektionen, aber wir haben auch gesehen, dass durch Addition eines vierten Operationsverstärkersegments, das den Tiefpass und den Hochpass zusammenfasst, auch ein Notch (Band-Stopp) Filterausgangsverhalten bei der gewünschten Mittenfrequenz erzielt werden kann.

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