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Passiver Tiefpassfilter

Passiver Tiefpassfilter

Ein Tiefpassfilter ist eine Schaltung, die entworfen werden kann, um alle unerwünschten hohen Frequenzen eines elektrischen Signals zu modifizieren, umzugestalten oder zurückzuweisen und nur die vom Schaltungsdesigner gewünschten Signale zu akzeptieren oder weiterzugeben

Mit anderen Worten, sie „filter“ unerwünschte Signale aus und ein idealer Filter trennt und leitet sinusförmige Eingangssignale entsprechend ihrer Frequenz weiter. In Niederfrequenzanwendungen (bis 100kHz) werden passive Filter in der Regel mit einfachen RC (Resistor-Capacitor)-Netzwerken aufgebaut, während höherfrequente Filter (über 100kHz) meist aus RLC (Resistor-Inductor-Capacitor)-Komponenten bestehen.

Passive Filter bestehen aus passiven Bauelementen wie Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten und haben keine Verstärkerelemente (Transistoren, Operationsverstärker, etc.), daher ist ihr Ausgangspegel immer kleiner als der Eingang.

Filter werden nach dem Frequenzbereich benannt, den sie passieren lassen, während sie den Rest blockieren oder „dämpfen“. Die am häufigsten verwendeten Filterausführungen sind:

  • Der Tiefpassfilter – der Tiefpassfilter lässt nur Signale von 0Hz bis zu seiner Grenzfrequenz, ƒc durch und blockiert höhere.
  • Der Hochpassfilter – der Hochpassfilter lässt nur Hochfrequenzsignale von seiner Grenzfrequenz, ƒc bis unendlich durch, während er niedrigere blockiert.
  • Der Bandpassfilter – der Bandpassfilter erlaubt es, Signale, die innerhalb eines bestimmten Frequenzbandes zwischen zwei Punkten liegen, durchzulassen, während er sowohl die unteren als auch die höheren Frequenzen auf beiden Seiten dieses Frequenzbandes blockiert.

Einfache passive Filter erster Ordnung (1. Ordnung) können hergestellt werden, indem ein einzelner Widerstand und ein einzelner Kondensator in Reihe über ein Eingangssignal ( VIN ) mit dem Ausgang des Filters ( VOUT ) an die Verzweigung dieser beiden Komponenten geschaltet.

Je nachdem, wie wir den Widerstand und den Kondensator in Bezug auf das Ausgangssignal anschließen, wird die Art des Filteraufbaus bestimmt, so dass entweder ein Tiefpassfilter oder ein Hochpassfilter entsteht.

Da die Funktion eines jeden Filters darin besteht, Signale eines bestimmten Frequenzbandes unverändert passieren zu lassen, während alle anderen, die nicht erwünscht sind, gedämpft oder geschwächt werden, können wir die Amplitudengangcharakteristik eines idealen Filters definieren, indem wir eine ideale Frequenzgangkurve der vier Grundfiltertypen wie gezeigt verwenden.

Ideale Filterreaktionskurven

Filterreaktionskurven

 

Filter können in zwei verschiedene Typen unterteilt werden: aktive Filter und passive Filter. Aktive Filter enthalten Verstärkereinrichtungen zur Erhöhung der Signalstärke, während passive keine Verstärkereinrichtungen zur Verstärkung des Signals enthalten. Da es innerhalb eines passiven Filterdesigns zwei passive Komponenten gibt, hat das Ausgangssignal eine kleinere Amplitude als das entsprechende Eingangssignal, daher dämpfen passive RC-Filter das Signal und haben eine Verstärkung von weniger als eins (Einheit).

Ein Tiefpassfilter kann eine Kombination aus Kapazität, Induktivität oder Widerstand sein, um eine hohe Dämpfung oberhalb einer bestimmten Frequenz und eine geringe oder keine Dämpfung unterhalb dieser Frequenz zu erzeugen. Die Frequenz, bei der der Übergang erfolgt, wird als „Cut-off“- oder „Eck“-Frequenz bezeichnet.

Die einfachsten Tiefpassfilter bestehen aus einem Widerstand und einem Kondensator, anspruchsvollere Tiefpassfilter haben eine Kombination aus Reiheninduktivitäten und Parallelkondensatoren. In diesem Tutorial betrachten wir den einfachsten Typ, einen passiven Zweikomponenten-RC-Tiefpassfilter.

Der Tiefpassfilter

Ein einfacher passives RC-Tiefpassfilter oder LPF kann einfach hergestellt werden, indem ein einzelner Widerstand mit einem einzelnen Kondensator in Reihe geschaltet wird, wie unten gezeigt. Bei dieser Art der Filteranordnung wird das Eingangssignal ( VIN ) an die Reihenschaltung (Widerstand und Kondensator zusammen) angelegt, aber das Ausgangssignal ( VOUT ) wird nur über den Kondensator geführt.

Dieser Filtertyp wird allgemein als „Filter 1. Ordnung“ oder „einpoliger Filter“ bezeichnet. Warum 1. Ordnung oder einpolig? Weil er nur „eine“ reaktive Komponente, den Kondensator, in der Schaltung hat.

RC-Tiefpass-Filterschaltung

Passives RC-Tiefpassfilter

 

Wie bereits im Tutorial Kapazitive Reaktanz erwähnt, variiert die Reaktanz eines Kondensators umgekehrt mit der Frequenz, während der Wert des Widerstandes konstant bleibt, wenn sich die Frequenz ändert. Bei niedrigen Frequenzen ist die kapazitive Reaktanz ( XC ) des Kondensators im Vergleich zum Widerstandswert des Widerstandes R sehr groß.

Dies bedeutet, dass das Spannungspotential VC am Kondensator viel größer ist als der Spannungsabfall, den VR am Widerstand entwickelt hat. Bei hohen Frequenzen ist das Gegenteil der Fall, wobei VC klein und VR groß ist, da sich der kapazitive Blindwert ändert.

Während die obige Schaltung die einer RC-Tiefpassfilterschaltung ist, kann man sie auch als frequenzabhängige variable Potentialteilerschaltung betrachten, ähnlich derjenigen, die wir im Tutorial über Widerstände betrachtet haben. In diesem Tutorial haben wir die folgende Gleichung verwendet, um die Ausgangsspannung für zwei in Reihe geschaltete Einzelwiderstände zu berechnen.

Potentielle Teilergleichung

 

Wir wissen auch, dass die kapazitive Reaktanz eines Kondensators in einem Wechselstromkreis wie folgt gegeben ist:

kapazitive Reaktanzgleichung

 

Die Opposition zum Stromfluss in einem Wechselstromkreis wird Impedanz, Symbol Z genannt und für eine Reihenschaltung, die aus einem einzelnen Widerstand in Reihe mit einem einzelnen Kondensator besteht, wird die Schaltungsimpedanz wie folgt berechnet:

Wechselstrom-Impedanzgleichung

 

Wenn wir dann unsere Gleichung für die Impedanz in die ohmsche Potentialteiler-Gleichung einfügen, erhalten wir:

RC-Potenzialteiler-Gleichung

RC-Potenzialteiler-Gleichung

 

Durch die Verwendung der Potentialteilergleichung von zwei Widerständen in Reihe und das Ersetzen der Impedanz können wir also die Ausgangsspannung eines RC-Filters für eine beliebige Frequenz berechnen.

Tiefpassfilter Beispiel Nr.1

A Low Pass Filter circuit consisting of a resistor of 4k7Ω in series with a capacitor of 47nF is connected across a 10v sinusoidal supply. Calculate the output voltage ( VOUT ) at a frequency of 100Hz and again at frequency of 10,000Hz or 10kHz.

Spannungsausgang bei einer Frequenz von 100Hz

kapazitive Reaktanz bei 100hz

 

Potentialteiler bei 100hz

 

Spannungsausgang bei einer Frequenz von 10.000Hz (10kHz)

kapazitive Reaktanz bei 10khz

 

Potentialteiler bei 10khz

 

Frequenzgang

Aus den obigen Ergebnissen ist ersichtlich, dass mit steigender Frequenz des RC-Netzes von 100Hz auf 10kHz die Spannung am Kondensator und damit die Ausgangsspannung („Vout“) der Schaltung von 9,9V auf 0,718V sinkt.

Indem man die Ausgangsspannung des Netzes gegen verschiedene Werte der Eingangsfrequenz aufträgt, kann man die Frequenzgang-Kurve oder das Bode-Diagramm der Tiefpassfilterschaltung finden, wie unten gezeigt:

Frequenzgang eines Tiefpassfilters 1. Ordnung

Tiefpassfilter Bode-Plot

 

Das Bode-Diagramm zeigt den Frequenzgang des Filters für tiefe Frequenzen als nahezu flach an und das gesamte Eingangssignal wird direkt an den Ausgang weitergeleitet, was zu einer Verstärkung von fast 1, der so genannten Einheit, führt, bis es seinen Höchstfrequenzpunkt erreicht (ƒc). Dies liegt daran, dass die Reaktanz des Kondensators bei niedrigen Frequenzen hoch ist und jeden Stromfluss durch den Kondensator blockiert.

Nach diesem Höchstfrequenzpunkt sinkt der Frequenzgang der Schaltung auf Null bei einer Steigung von -20dB/ Dekade oder (-6dB/Oktave) „roll-off“. Beachten Sie, dass der Winkel der Steigung, dieser 20dB/ Dekade „roll-off“ für jede RC-Kombination immer derselbe ist.

Alle Hochfrequenzsignale, die an den Tiefpassfilterkreis oberhalb dieses Grenzfrequenzpunktes angelegt werden, werden stark gedämpft, d.h. sie nehmen schnell ab. Dies geschieht, weil bei sehr hohen Frequenzen die Reaktanz des Kondensators so niedrig wird, dass ein Kurzschlusszustand an den Ausgangsklemmen entsteht, der zu einem Null-Ausgang führt.

Wir können durch sorgfältige Auswahl der richtigen Widerstands-Kondensator-Kombination eine RC-Schaltung erstellen, die es ermöglicht, einen Frequenzbereich unterhalb eines bestimmten Wertes unbeeinflusst durch die Schaltung zu leiten, während alle Frequenzen oberhalb dieses Cut-Off-Punktes, gedämpft werden, was gemeinhin als Tiefpassfilter bezeichnet wird.

Bei dieser Art von „Tiefpassfilter“-Schaltung sind alle Frequenzen unterhalb dieses Cut-off, ƒc, die unverändert und ohne Dämpfung sind und sich im Durchlassbereich befinden sollen. Dieser Durchlassbereich stellt auch die Bandbreite des Filters dar. Alle Signalfrequenzen oberhalb dieses Punktes liegen im Allgemeinen im Bereich der Sperrbandzone des Filters und werden stark gedämpft.

Diese „Grenz“-, „Eck“- oder „Übergangs“-Frequenz ist definiert als der Frequenzpunkt, an dem die kapazitive Reaktanz und der Widerstand gleich sind, R = Xc = 4k7Ω. In diesem Fall wird das Ausgangssignal auf 70,7% des Eingangssignalwertes oder -3dB (20 log (Vout/Vin)) des Eingangs gedämpft. Obwohl R = Xc, ist der Ausgang nicht die Hälfte des Eingangssignals. Dies liegt daran, dass sie gleich der Vektorsumme der beiden ist und somit 0,707 des Eingangs ist.

Da der Filter einen Kondensator enthält, eilt der Phasenwinkel ( Φ ) des Ausgangssignals dem des Eingangs und bei der Grenzfrequenz -3dB (ƒc) -45o phasenverschoben nach. Dies ist auf die Zeit zurückzuführen, die benötigt wird, um die Platten des Kondensators zu laden, wenn sich die Eingangsspannung ändert, was dazu führt, dass die Ausgangsspannung (die Spannung am Kondensator) hinter der des Eingangssignals „nachhinkt“. Je höher die am Filter anliegende Eingangsfrequenz, desto mehr verzögert der Kondensator und die Schaltung wird immer mehr „phasenverschoben“.

Der Grenzfrequenzpunkt und der Phasenverschiebungswinkel können mit Hilfe der folgenden Gleichung ermittelt werden:

Grenzfrequenz und Phasenverschiebung

Tiefpassfilter-Grenzfrequenz

 

Für unser einfaches Beispiel einer „Tiefpass Filter“-Schaltung oben ist die Grenzfrequenz (ƒc) 720Hz mit einer Ausgangsspannung von 70,7% des Eingangsspannungswertes und einem Phasenverschiebungswinkel von -45o.

Tiefpassfilter 2. Ordnung

Bisher haben wir gesehen, dass einfache RC-Tiefpassfilter 1. Ordnung hergestellt werden können, indem ein einzelner Widerstand in Reihe mit einem einzigen Kondensator geschaltet wird. Diese einpolige Anordnung ergibt eine Flankensteilheit von -20dB/Dekade als Dämpfung der Frequenzen oberhalb des Grenz-Punktes bei ƒ-3dB . In Filterschaltungen reicht dieser Winkel von -20dB/Dekade (-6dB/Oktave) oft nicht aus, um ein unerwünschtes Signal zu entfernen, dann können zwei Filterstufen verwendet werden.

Tiefpassfilter zweiter Ordnung

Tiefpassfilter zweiter Ordnung

 

Die obige Schaltung verwendet zwei passive Tiefpassfilter erster Ordnung, die so miteinander verbunden oder „kaskadiert“ sind, dass sie ein zweipoliges Filternetz oder ein Filternetzwerk 2. Ordnung bilden. Wir sehen aslo, dass ein Tiefpassfilter 1. Ordnung in einen Typ 2. Ordnung umgewandelt werden kann, indem einfach ein zusätzliches RC-Netzwerk hinzugefügt wird und je mehr RC-Stufen wir hinzufügen, desto höher wird die Reihenfolge des Filters.

Wenn eine Anzahl ( n ) solcher RC-Stufen kaskadiert wird, würde die resultierende RC-Filterschaltung als Filter „n-ter Ordnung“ mit einer Flankensteilheit von „n x -20dB/Dekade“ bezeichnet.

So hätte beispielsweise ein Filter zweiter Ordnung eine Steigung von -40dB/Dekade (-12dB/Oktave), ein Filter vierter Ordnung eine Steigung von -80dB/Dekade (-24dB/Oktave) und so weiter. Dies bedeutet, dass mit zunehmender Reihenfolge des Filters die Flankensteilheit stärker wird und sich das tatsächliche Sperrband-Verhalten des Filters seinen idealen Sperrband-Eigenschaften annähert.

Filter zweiter Ordnung sind wichtig und weit verbreitet in Filterkonstruktionen, da in Kombination mit Filter erster Ordnung alle Filter höherer Ordnung mit n-ten Werten entworfen werden können. Beispielsweise wird ein Tiefpassfilter dritter Ordnung durch Reihenschaltung oder Kaskadierung eines Tiefpassfilters erster und zweiter Ordnung gebildet.

Aber es gibt auch einen Nachteil, wenn man die RC-Filterstufen kaskadiert. Obwohl es keine Begrenzung für die Reihenfolge der Filter gibt, die gebildet werden können, nimmt die Verstärkung und Genauigkeit des Endfilters mit zunehmender Reihenfolge ab.

Bei der Kaskadierung identischer RC-Filterstufen wird die Ausgangsverstärkung bei der gewünschten Grenzfrequenz ( ƒc ) um einen Betrag reduziert (gedämpft), der der Anzahl der Filterstufen entspricht, die mit zunehmender Flankensteilheit verwendet werden. Wir können die Höhe der Dämpfung bei der gewählten Grenzfrequenz mit Hilfe der folgenden Formel definieren.

Passive Tiefpassfilterverstärkung bei ƒc

Tiefpassfilterverstärkung

wobei „n“ die Anzahl der Filterstufen ist.

Für ein passives Tiefpassfilter zweiter Ordnung ist die Verstärkung bei der Eckfrequenz ƒc gleich 0,7071 x 0,7071 = 0,5Vin (-6dB), ein passives Tiefpassfilter dritter Ordnung gleich 0,353Vin (-9dB), vierte Ordnung 0,25Vin (-12dB) und so weiter. Die Eckfrequenz ƒc für einen passiven Tiefpassfilter zweiter Ordnung wird durch die Kombination aus Widerstand und Kondensator (RC) bestimmt und ist gegeben als:

Filter Eckfrequenz 2. Ordnung

Abschneidefrequenz zweiter Ordnung

 

In der Realität ändert sich der Tiefpassfilter -3dB Eckfrequenzpunkt und damit seine Durchlassfrequenz von seinem ursprünglich berechneten Wert oben um einen Betrag, der durch die folgende Gleichung bestimmt wird.

Tiefpassfilter 2. Ordnung -3dB Frequenz

Tiefpassfilter -3 dB Frequenz

 

wobei ƒc die berechnete Grenzfrequenz, n die Filterordnung und ƒ-3dB die neue -3dB-Durchlassfrequenz als Ergebnis der Erhöhung der Filterordnung ist.

Damit würde der Frequenzgang (Bode-Diagramm) für ein Tiefpassfilter zweiter Ordnung bei gleichem Eck-Punkt von -3dB so aussehen:

Frequenzgang eines Tiefpassfilters 2. Ordnung

lpr Antwortkurve

 

In der Praxis ist es schwierig, passive Filter zu kaskadieren, um Filter größerer Ordnung herzustellen, da sich die dynamische Impedanz jeder Filterordnung auf das benachbarte Netz auswirkt. Um den Belastungseffekt zu reduzieren, können wir die Impedanz jeder folgenden Stufe 10x der vorherigen Stufe anpassen, also R2 = 10 x R1 und C2 = 1/10th C1. In den Rückkopplungsschaltungen von Operationsverstärkern werden in der Regel Filter zweiter Ordnung und darüber verwendet, so dass sie als sogenannte aktive Filter oder als Phasenschieber-Netzwerk in RC-Oszillatorschaltungen eingesetzt werden.

Tiefpassfilter Zusammenfassung

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass ein Tiefpassfilter eine konstante Ausgangsspannung von Gleichstrom (0 Hz) bis zu einer bestimmten Grenzfrequenz hat ( ƒC ). Dieser Grenzfrequenzpunkt beträgt 0,707 oder -3dB ( dB = –20log*VOUT/IN ) der zulässigen Spannungsverstärkung.

Der Frequenzbereich „unterhalb“ dieses Grenzwertes ƒC wird allgemein als Durchlassbereich bezeichnet, da das Eingangssignal den Filter passieren darf. Der Frequenzbereich „oberhalb“ dieses Grenzwertes wird allgemein als Sperrbereich bezeichnet, da das Eingangssignal blockiert oder gestoppt wird.

Ein einfacher Tiefpassfilter 1. Ordnung kann mit einem einzelnen Widerstand in Reihe mit einem einzelnen unpolarisierten Kondensator (oder einer beliebigen reaktiven Komponente) über ein Eingangssignal VIN hergestellt werden, während das Ausgangssignal VOUT über den Kondensator abgenommen wird.

Die Grenzfrequenz oder -3dB Punkt, kann mit der Standardformel ƒc = 1/(2πRC) ermittelt werden. Der Phasenwinkel des Ausgangssignals bei ƒc und ist -45o für ein Tiefpassfilter.

Die Verstärkung eines beliebigen Filters wird im Allgemeinen in Dezibel ausgedrückt und ist eine Funktion des Ausgangswertes geteilt durch den entsprechenden Eingangswert und wird als:

low pass filter gain in decibels

 

Passive Tiefpassfilter werden in Audioverstärkern und Lautsprechersystemen eingesetzt, um die tieffrequenten Basssignale auf die größeren Basslautsprecher zu lenken oder um hochfrequentes Rauschen oder Verzerrungen zu reduzieren. In Audioanwendungen wird das Tiefpassfilter manchmal als „High-Cut“ oder „Treble-Cut“ bezeichnet.

Wenn wir die Positionen des Widerstandes und des Kondensators in der Schaltung so umkehren würden, dass die Ausgangsspannung nun über den Widerstand abgenommen wird, hätten wir eine Schaltung, die eine Ausgangsfrequenzgangkurve ähnlich der eines Hochpassfilters erzeugt, und das wird im nächsten Tutorial besprochen.

Zeitkonstante

Bisher interessierte uns der Frequenzgang eines Tiefpassfilters bei sinusförmiger Wellenform. Wir haben auch gesehen, dass die Grenzfrequenz des Filters ( ƒc ) das Produkt aus dem Widerstand ( R ) und der Kapazität ( C ) in der Schaltung in Bezug auf einen bestimmten Frequenzpunkt ist und dass die Änderung einer der beiden Komponenten diesen Grenzfrequenzpunkt verändert, entweder erhöht oder verringert.

Wir wissen auch, dass die Phasenverschiebung der Schaltung hinter der des Eingangssignals nacheilt, wegen der Zeit, die zum Laden und Entladen des Kondensators benötigt wird, wenn sich die Sinuswelle ändert. Diese Kombination von R und C erzeugt einen Lade- und Entladungseffekt auf den Kondensator, der als Zeitkonstante ( τ ) der Schaltung bekannt ist, wie in den RC-Schaltkreis-Tutorials gezeigt, die dem Filter eine Antwort im Zeitbereich geben.

Die Zeitkonstante tau ( τ ) bezieht sich auf die Grenzfrequenz ƒc als:

Zeitkonstante

 

oder ausgedrückt in Form der Grenzfrequenz, ƒc als:

rc Zeitkonstante

Die Ausgangsspannung VOUT ist abhängig von der Zeitkonstante und der Frequenz des Eingangssignals. Mit einem sinusförmigen Signal, das sich im Laufe der Zeit sanft ändert, verhält sich die Schaltung wie ein einfaches Tiefpassfilter erster Ordnung, wie wir oben gesehen haben.

Aber was wäre, wenn wir das Eingangssignal in das eines „rechteckigen“ Signals vom Typ „ON/OFF“ ändern würden, das einen fast vertikalen Eingang hat? Was würde jetzt mit unserer Filterschaltung passieren? Die Ausgangsreaktion der Schaltung würde sich dramatisch ändern und eine andere Art von Schaltung erzeugen, die gemeinhin als Integrierer bezeichnet wird.

Der RC-Integrierer

Der Integrierer ist eine im Zeitbereich arbeitende Tiefpassfilterschaltung, die ein rechteckiges „Step“-Eingangssignal in eine Dreieckwelle umwandelt, während der Kondensator lädt und entladen wird. Eine dreieckige Wellenform besteht aus abwechselnden, aber gleichen, positiven und negativen An- bzw. Abstiegen.

Wenn die RC-Zeitkonstante im Vergleich zur Zeitperiode der Eingangswellenform lang ist, ist die resultierende Ausgangswellenform dreieckig und je höher die Eingangsfrequenz, desto geringer ist die Ausgangsamplitude im Vergleich zu der des Eingangs.

Die RC-Integrierschaltung

RC-Integratorschaltung

Dies macht diese Art von Schaltung ideal für die Umwandlung eines elektronischen Signals in ein anderes für den Einsatz in wellenerzeugenden oder wellenformenden Schaltungen.

6 Kommentar

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  • Bikesteff

    << Für ein passives Tiefpassfilter zweiter Ordnung ist die Verstärkung bei der Eckfrequenz ƒc <<gleich 0,7071 x 0,7071 = 0,5Vin (-6dB), ein passives Tiefpassfilter dritter Ordnung gleich < -6dB, 3 Kaskaden -> -9dB …), wenn die Kaskade 2 die Kaskade 1 nicht belastet (Spannungsfolger zwischenschalten) … entsprechend bei weiteren Stufen. Ansonsten hast Du einen !!belasteten!! Spannungsteiler und die Dämpfung bei der Eckfrequenz fc ist insgesamt höher (knapp 10dB bei 2 Kaskaden). Richtig ist, dass der Abfall hinter der Grenzfrequenz dann -40dB pro Dekade beträgt (bei 2 Kaskaden) … u.s.w.

    Bitte korrigieren 🙂

  • Daniel

    Die Rechnungen sind falsch, bitte korrigieren:

    Beispiel: XC mit f = 100 Hz und C = 47 nF = 47*10^-8 F
    XC = 3386,27 Ohm!

    Es sind noch weitere Typos enthalten.