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Filter zweiter Ordnung

Filter zweiter Ordnung

Filter zweiter Ordnung (oder zweipolige Filter) bestehen aus zwei RC-Filtersektionen, die miteinander verbunden sind, um eine Roll-off Rate von -40dB/Dekade zu erreichen

Filter zweiter Ordnung, die auch als VCVS-Filter bezeichnet werden, weil der Operationsverstärker als spannungsgesteuerter Spannungsquellenverstärker verwendet wird, sind eine weitere wichtige Art des aktiven Filterdesigns, da neben den aktiven RC-Filter erster Ordnung, die wir zuvor betrachtet haben, auch Filterkreise höherer Ordnung mit ihnen entworfen werden können.

In diesem Abschnitt über analoge Filter haben wir uns sowohl mit passiven als auch mit aktiven Filter beschäftigt und festgestellt, dass Filter erster Ordnung einfach in Filter zweiter Ordnung umgewandelt werden können, indem ein zusätzliches RC-Netzwerk im Eingangs- oder Rückkopplungspfad verwendet wird. Dann können wir Filter zweiter Ordnung einfach definieren als: “zwei Filter 1. Ordnung kaskadiert mit Verstärkung”.

Die meisten Designs von Filter zweiter Ordnung sind in der Regel nach ihrem Erfinder benannt, wobei die gebräuchlichsten Filtertypen sind: Butterworth, Tschebyscheff, Bessel und Sallen-Key. Alle diese Filtertypen sind entweder als Tiefpassfilter, Hochpassfilter, Bandpassfilter und Bandsperrfilter (Notch-Filter) oder als Filter zweiter Ordnung mit einem Roll-Off von 40 dB pro Dekade erhältlich.

Das Sallen-Key-Filterdesign ist eines der bekanntesten und beliebtesten Filterdesigns zweiter Ordnung, das nur einen einzigen Operationsverstärker für die Verstärkungsregelung und vier passive RC-Komponenten benötigt, um die Abstimmung durchzuführen.

Die meisten aktiven Filter bestehen nur aus Operationsverstärkern, Widerständen und Kondensatoren, wobei der Cut-Off-Punkt durch den Einsatz von Rückkopplungen erreicht wird, die den Einsatz von Induktivitäten, wie in passiven Filterschaltungen 1. Ordnung verwendet, unnötig machen.

Aktive Filter zweiter Ordnung (zweipolig), ob Tiefpass oder Hochpass, sind in der Elektronik wichtig, da wir damit sehr viel höherwertige Filter mit sehr steilen Flanken entwerfen können und durch Kaskadierung von Filter erster und zweiter Ordnung analoge Filter mit einem Wert n-ter Ordnung, entweder ungerade oder sogar bis zu einem beliebigen Wert, in vernünftiger Weise konstruiert werden können.

Tiefpassfilter zweiter Ordnung

Tiefpassfilter zweiter Ordnung sind einfach zu entwerfen und werden in vielen Anwendungen eingesetzt. Die Grundkonfiguration für einen Sallen-Key Tiefpassfilter zweiter Ordnung (zweipolig) ist als:

Tiefpassfilter zweiter Ordnung

Tiefpassfilter zweiter Ordnung

 

Diese Tiefpassfilterschaltung zweiter Ordnung hat zwei RC-Netzwerke, R1 – C1 und R2 – C2, die dem Filter seine Frequenzgang-Eigenschaften verleihen. Das Filterdesign basiert auf einer nicht-invertierenden Operationsverstärker-Konfiguration, so dass die Filterverstärkung A immer größer als 1 ist und der Operationsverstärker eine hohe Eingangsimpedanz hat, was bedeutet, dass er leicht mit anderen aktiven Filterschaltungen kaskadiert werden kann, um komplexere Filterdesigns zu erhalten.

Der normierte Frequenzgang des Tiefpassfilters zweiter Ordnung wird durch das RC-Netzwerk festgelegt und ist im Allgemeinen identisch mit dem des Typs erster Ordnung. Der Hauptunterschied zwischen einem Tiefpassfilter 1. und 2. Ordnung besteht darin, dass die Stoppbandabsenkung bei 40dB/Dekade (12dB/Oktave) doppelt so hoch ist wie die Betriebsfrequenz über dem Grenzfrequenz Punkt ƒc, wie dargestellt:

Normierter Tiefpassfrequenzgang

Tiefpassfrequenzgang

 

Der obige Frequenzgang ist im Prinzip derselbe wie bei einem Filter erster Ordnung. Der Unterschied dieses Mal ist die Steilheit des Roff-offs, die -40dB/Dekade im Sperrband beträgt. Allerdings können Filter zweiter Ordnung eine Vielzahl von Reaktionen zeigen, abhängig vom Spannungs-Vergrößerungsfaktor, Q am Grenzfrequenzpunkt.

In aktiven Filter zweiter Ordnung wird normalerweise der Dämpfungsfaktor ζ (zeta) verwendet, der das Gegenteil von Q ist. Sowohl Q als auch ζ werden unabhängig von der Verstärkung des Verstärkers, A, bestimmt, so dass mit abnehmendem Q der Dämpfungsfaktor steigt. Vereinfacht ausgedrückt ist ein Tiefpassfilter immer ein Tiefpassfilter, kann aber in der Nähe der Grenzfrequenz eine Resonanzspitze aufweisen, d.h. die Verstärkung kann aufgrund von Resonanzeffekten der Verstärkerverstärkung schnell ansteigen.

Dann stellt der Qualitätsfaktor, Q, die “peakiness” dieser Resonanzspitze dar, also ihre Höhe und Enge um den Grenzfrequenzpunkt, ƒC. Eine Filterverstärkung bestimmt aber auch die Höhe der Rückkopplung und hat somit einen signifikanten Einfluss auf den Frequenzgang des Filters.

Um die Stabilität aufrechtzuerhalten, darf eine aktive Filterverstärkung nicht mehr als 3 betragen und wird am besten ausgedrückt als:

Der Qualitätsfaktor “Q”

Tiefpassfilter-Qualitätsfaktor

 

Wir sehen also, dass die Filterverstärkung A für eine nicht invertierende Verstärkerkonfiguration zwischen 1 und 3 liegen muss (der Dämpfungsfaktor, ζ zwischen Null und 2). Daher geben höhere Werte von Q oder niedrigere Werte von ζ einen größeren Spitzenwert für die Antwort und eine schnellere Anfangs-Roll-Off-Rate, wie gezeigt.

Amplitudengang des Filters zweiter Ordnung

Filter-Amplitudenantwort zweiter Ordnung

 

Der Amplitudengang des Tiefpassfilters zweiter Ordnung variiert für verschiedene Dämpfungsfaktoren, ζ Wenn ζ = 1.0 oder mehr (2.0 ist das Maximum) wird das Filter “überdämpft”, wobei der Frequenzgang eine lange flache Kurve zeigt. Bei ζ = 0 ist, hat die Filterleistung an der Trennstelle einen scharfen Peak, an dem der Filter als “unterdämpft” bezeichnet wird.

Dazwischen, ζ = 0 und ζ = 2.0, muss es einen Punkt geben, an dem der Frequenzgang den richtigen Wert hat, und es gibt ihn. Dies ist der Fall, wenn der Filter “kritisch gedämpft” ist und wenn ζ = 0.7071.

Eine letzte Anmerkung: Wenn die Rückkopplung 4 oder mehr erreicht, beginnt das Filter aufgrund der Resonanzeffekte von selbst am Grenzfrequenz Punkt zu schwingen und verwandelt den Filter in einen Oszillator. Dieser Effekt wird als Selbstoszillation bezeichnet. Für einen Tiefpassfilter 2. Ordnung spielen dabei sowohl Q als auch ζ eine entscheidende Rolle.

Aus den normierten Frequenzgangkurven oben für einen Filter 1. Ordnung (rote Linie) können wir erkennen, dass die Verstärkung des Durchlassbandes flach und eben bleibt (maximal flach genannt), bis der Frequenzgang den Grenzfrequenzpunkt erreicht: ƒ = ƒr und die Verstärkung des Filters reduziert sich über seine Eckfrequenz bei 1/√2, oder 0.7071 seines Maximalwertes. Dieser Punkt wird allgemein als Filter -3dB-Punkt bezeichnet und bei einem Tiefpassfilter erster Ordnung ist der Dämpfungsfaktor gleich 1, ( ζ = 1 ).

Dieser -3dB-Grenzwert liegt jedoch bei Filter zweiter Ordnung wegen der steileren -40dB/Dekaden-Rolloff-Rate (blaue Linie) an einer anderen Frequenzposition. Mit anderen Worten, die Eckfrequenz, ƒr ändert sich mit zunehmender Reihenfolge des Filters. Um dann den -3dB Punkt des Filters 2. Ordnung wieder auf die gleiche Position wie die Filters 1. Ordnung zu bringen, müssen wir dem Filter eine kleine Menge an Verstärkung zufügen.

Bei einem Tiefpassfilter zweiter Ordnung von Butterworth wäre das die Höhe der Verstärkung: 1.586, für einen Bessel-Filter zweiter Ordnung: 1.268 und für einen Tschebyscheff-Tiefpass: 1.234.

Filter zweiter Ordnung Beispiel Nr.1

Ein Tiefpassfilter zweiter Ordnung soll um einen nichtinvertierenden Operationsverstärker mit gleichen Widerstands- und Kondensatorwerten in seiner Grenzfrequenz-Bestimmungsschaltung herum aufgebaut werden. Gegeben sind die Filtereigenschaften als: Q = 5, und ƒc = 159Hz; entwerfen Sie einen geeigneten Tiefpassfilter und zeichnen Sie dessen Frequenzgang.

Eigenschaften: R1 = R2, C1 = C2, Q = 5 und ƒc = 159Hz

Aus der obigen Schaltung wissen wir, dass für gleiche Widerstände und Kapazitäten der Grenzfrequenzpunkt ƒc angegeben ist:

Filterfrequenz zweiter Ordnung

 

Mit einem geeigneten Wert von z.B. 10kΩ für die Widerstände wird der resultierende Kondensatorwert wie folgt berechnet:

Filterkondensator zweiter Ordnung

 

Dann folgt für eine Eckfrequenz von 159Hz, R = 10kΩ und C = 0.1uF.

mit einem Wert von Q = 5, wird die Filterverstärkung, A berechnet:

Filterverstärkung zweiter Ordnung

 

Wir wissen von oben, dass die Verstärkung eines nicht-invertierenden Operationsverstärkers gegeben ist als:

nicht invertierende Filterverstärkung

 

Daher ist die Endschaltung für den Tiefpassfilter zweiter Ordnung wie folgt:

Tiefpassfilterschaltung 2. Ordnung

Tiefpassfilterschaltung zweiter Ordnung

 

Man sieht, dass die Spitze der Frequenzgangkurve bei der Grenzfrequenz aufgrund des hohen Gütefaktors Q = 5 recht scharf ist. An dieser Stelle wird die Verstärkung des Filters: Q*A = 14, oder etwa +23dB, ein großer Unterschied zum berechneten Wert von 2,8, (+8,9dB).

Aber viele Bücher, sagen, dass die Verstärkung des Filters am normierten Grenzfrequenzpunkt usw., usw., am -3dB-Punkt liegen sollte. Durch eine signifikante Absenkung des Wertes von Q auf einen Wert von 0,7071 ergibt sich eine Verstärkung von, A = 1.586 und ein im Durchlassbereich maximal flacher Frequenzgang mit einer Dämpfung von -3dB am Cut-Off-Punkt wie bei einem Butterworth-Filter zweiter Ordnung.

Bisher haben wir gesehen, dass man bei Filter zweiter Ordnung ihren Grenzfrequenzpunkt auf einen beliebigen Wert einstellen kann, aber durch den Dämpfungsfaktor ζ von diesem Sollwert abgewichen wird. Aktive Filterkonstruktionen ermöglichen die Ordnung des Filters bis zu einem beliebigen Wert durch Kaskadierung von Filterabschnitten.

In der Praxis ist es beim Entwurf von Tiefpassfilter n-ter Ordnung wünschenswert, die Grenzfrequenz für den Abschnitt erster Ordnung einzustellen (wenn die Reihenfolge des Filters ungerade ist) und den Dämpfungsfaktor und die entsprechende Verstärkung für jeden Abschnitt zweiter Ordnung so einzustellen, dass das richtige Gesamtverhalten erreicht wird. Um das Design von Tiefpassfilter zu vereinfachen, sind die Werte von ζ, Q und A in tabellarischer Form für aktive Filter verfügbar, wie wir im Butterworth Filter-Tutorial sehen. Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Filter zweiter Ordnung Beispiel Nr.2

Entwickeln Sie einen nichtinvertierenden Tiefpassfilter zweiter Ordnung, der die folgenden Filtereigenschaften aufweist: Q = 1.0 und ƒc = 79.5Hz.

Die Eckfrequenz, ƒc des Filters ist:

Eckfrequenz zweiter Ordnung

 

Wählen wir einen geeigneten Wert von 1kΩ für die Filterwiderstände, dann werden die resultierenden Kondensatorwerte wie folgt berechnet:

Filterkondensatorwert

 

Bei einer Eckfrequenz von 79,5 Hz oder 500 rads/s ist: R = 1kΩ und C = 2.0uF.

Bei einem Wert von Q = 1 wird die Filterverstärkung A wie folgt berechnet:

Filtergewinn

 

Die Spannungsverstärkung für eine nichtinvertierende Operationsverstärkerschaltung wurde zuvor wie folgt angegeben:

Filterverstärkungswiderstand

 

Daher ist die Tiefpassfilterschaltung zweiter Ordnung mit einem Q von 1 und einer Eckfrequenz von 79,5 Hz:

Tiefpassfilterschaltung

Tiefpassfilter 2. Ordnung

Hochpassfilter zweiter Ordnung

Der Unterschied zwischen der Tiefpassfilterkonfiguration zweiter Ordnung und der Hochpassfilterkonfiguration zweiter Ordnung ist sehr gering, lediglich die Position der Widerstände und Kondensatoren hat sich geändert.

Hochpassfilter 2. Ordnung

Hochpassfilter 2. Ordnung

 

Bei Hochpass- und Tiefpassfilter zweiter Ordnung haben wir im Prinzip die gleiche Schaltung, außer dass die Positionen der Widerstände und Kondensatoren vertauscht sind, sind der Aufbau und die Frequenzskalierung des Hochpassfilters genau die gleichen wie beim vorherigen Tiefpassfilter. Das Bode-Diagramm für einen Hochpassfilter 2. Ordnung lautet:

Normierter Hochpass-Frequenzgang

Hochpass-Frequenzgang

 

Wie beim vorherigen Tiefpassfilter beträgt die Steilheit des Roll-offs im Sperrband -40dB/Dekade.

In den beiden obigen Schaltungen wird der Wert der Operationsverstärker-Spannungsverstärkung ( Av ) durch das Rückkopplungsnetz des Verstärkers eingestellt. Damit wird nur die Verstärkung für Frequenzen innerhalb des Durchlassbereichs des Filters eingestellt. Wir können den Ausgang verstärken und diesen Verstärkungswert bei einem für unseren Zweck geeigneten Betrag einstellen und als Konstante K definieren.

Sallen-Key-Filter 2. Ordnung werden auch als positive Rückkopplungsfilter bezeichnet, da der Ausgang in den Pluspol des Operationsverstärkers zurückgeführt wird. Diese Art von aktivem Filterdesigns ist beliebt, da es nur einen einzigen Operationsverstärker benötigt und somit relativ kostengünstig ist.

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